数学是我们理解宇宙最有力的工具。但它是如何起源和发展的，仍然是一个谜。
玛丽亚姆·米尔扎克哈尼，2017年去世的伊朗数学家，是第一个在数学领域获得最高奖项——菲尔兹奖的女性。她描述了数学研究 “就像一个人迷失在丛林里，试图用你学到的一切找到出路。”。
虽然她只活了40岁，但应该说她是个幸运儿，比大多数人在“数学丛林”中走得更深，最终获得了数学冠军。
越来越多的证据表明，人类似乎是大自然的幸运儿，也是唯一能穿越“数学丛林”的动物。但是这种能力从何而来呢？为什么会发展？发展的目的是什么？.....回答这些问题不仅涉及到神经科学的一些热门话题，还迫使我们重新思考“什么是数学？”“数学是发现还是发明？”和其他关于数学本质的问题。
上篇 数学的起源
通过“建模”与世界打交道
大自然是一个复杂多变、危险的地方，栖息地的变化，掠食者的攻击，食物的缺乏……一个有机体的生存取决于它感知周围环境的能力。然而，无论野牛估计狮子的数量和大小，以便做出战斗/逃跑的决定；或者在空中与邻居保持适当的距离，以保持队形；或者羊沿着茂盛的水生植物路线觅食。。。伦敦大学神经学家卡尔·菲力斯顿说，所有这些活动都意味着他们在做数学。
“因为数学有一种简单、节俭和对称的性质，如果你把它当作一种语言，它会比其他描述世界的方法更好。从海豚到粘菌，几乎所有的生命都能从数学中理解世界，为自己的生存服务，” 他说。
现在不是有很多“建模”游戏吗？为一个复杂的过程，建立一个相对简单的数学模型，然后输入参数，以查看不同情况下的操作结果。那么，菲力斯顿的话实际上意味着，任何形式的生活都需要通过“建模”它的生活环境来发挥作用。
菲力斯顿的观点可以追溯到20世纪70年代。当时，控制论提出了一个原则：为了提供有效的控制，机器人必须首先对自己和环境建立一个数学模型，然后才能采取行动。随后的人工智能研究几乎都遵循了这一原则。今天，由于这一原则，人类在人工智能领域取得了如此巨大的成就。
由于机器人通过“建模”与外部世界互动，一个合理的推测是，生物也通过“建模”在一定程度上与世界打交道。
举个例子。当野牛注意到狮子即将来临时，它会本能地调动一种叫做“逃跑/战斗”的决策机制，决定是逃跑还是战斗，根据它对狮子的大小、距离和力量的估计。从功能上讲，这种决策机制可以看作是一种数学模型，输入“狮子头”、“距离”、“自身力量”等参数，输出“逃跑”或“战斗”的结果。任何参数的变化都可能导致不同的输出结果。
为了纠正感官偏差，发展精确的数感
既然是数学模型，当然要简化现实，不可能涵盖一切。特别是对于生活来说，当危险临近时，快速行动是主要因素，准确倒退是次要因素。例如，在上述“逃跑/战斗”模型中，考虑这三个因素几乎是一样的。至于“狮子的毛色”、“天空会下雨吗”等因素，我们不能考虑。考虑太多的因素，决策会减慢，进而影响行动速度。
正是我们与世界打交道的方式，决定了我们的感官之间存在着不尽如人意的偏差。
以韦伯·费希纳定律为例，它反映了心理量和物理量之间的关系。这条法律说：我们区分两种感觉差异的能力随着感觉强度的增加而减弱。例如，你可以很容易地区分1公斤和2公斤，但要区分21公斤和22公斤并不那么容易。亮度和音量的识别能力也是如此。
令我们自豪的是，尽管人类的感官与其他动物有相同的偏差，但人类已经发展出识别和纠正偏差的能力。最明显的是，我们发明了数字：这是一个符号系统，它允许我们立即判断（21和22）和（1和2）之间的差距是相同的。
“数觉”还是“量觉”与生俱来？
那这种工具是如何发展起来的呢？
长期以来，一种观点认为，我们生来就有一种“数字”的意识，就像我们生来就意识到颜色一样。1997年，法国心理学家德阿纳提出了一个假设，进化给了人类和其他动物一种“数字感觉”，即立即检测一堆物体数量的本能。例如，三颗红珠会产生“3”的感觉，就像它们能产生“红色”的感觉一样。
支持这种本能观点的证据很多。麻省理工学院的心理学家发现，6个月大的婴儿可以区分8点和16点的点阵。
还有研究表明，人类本能上有通过在空间上虚构一条“数字线”来表示数字的倾向。比如我给你报一串数字，请在纸上写下来。虽然我没有告诉你怎么记住，但你还是会以小的在左，大的在右的方式写下这些数字，即使你是左撇子。这是因为当你记住数字时，你会无意识地在纸上虚构一条“数字线”;在这条线上，数值应从左到右按从小到大的顺序排列。这是一种本能。
甚至有证据表明，数觉也存在于动物中(见扩展阅读“动物有数学本能吗？”)。
因此，从本能论的角度来看，我们天生就有“数觉”，然后作为“种子”。经过几千年的文明发展，我们今天拥有如此庞大而复杂的数学体系。
但不久，一些研究人员对这些证据表示怀疑。例如，他们说，婴儿可以区分两列点阵，这可能不取决于它们的数量差异，而是基于其他属性，如点阵的空间位置分布或覆盖面积。这些线索涉及数量，而不是数量；虽然数量也与数量有关，但精度较差，但婴儿似乎更有可能使用，因为比数更直观。比如两堆球，判断哪堆多哪堆少，总比说出每堆的具体数量更直观、更容易。
因此，有一个不同的假设：我们与生俱来的不是“数觉”，而是“量觉”，即感知事物数量（如大小、强度等）的能力。
似乎更准确的儿童测试也倾向于支持这一观点。例如，4岁以下的孩子不明白5个橙子和5个西瓜有什么共同点——都是5个。对他们来说，5个西瓜只意味着比5个橙子更“数量”。
此外，即使教孩子数字的动作也不能立即传达数字的意义。他们必须通过比较“数字”来掌握“数字”的概念。难怪幼儿园老师教孩子数字，或者做加减操作，辅以小棍子、球等道具。
精确的数量感是文明发展的产物
如果我们接受后一种观点，那么我们只能说是文明的产物，我们可以产生一种准确的数量感，发明数量来准确地表达数量。
文化对数的认知影响很大，超出了我们的想象。以巴布亚新几内亚的Yupno人为例。虽然他们的语言并不原始，但他们甚至没有说“一个比另一个大或小”。Yupno并不是唯一一个不强调数字的人。对189种澳大利亚土著语言的研究发现，四分之三的语言中没有超过3或4的单词。
这表明，我们今天大多数人所拥有的准确的数量感是文明发展到一定程度的产物，只有在需要农业和贸易时才会出现。
即使在我们自己中，对数的认知也深受职业、教育等文化因素的影响。2016年，研究人员扫描了15名专业数学家和15名非数学家学者的大脑。他们发现了一个涉及数学思维的大脑区域；当数学家思考代数、几何和拓扑时，大脑区域就会被激活；但当他们思考非数学问题时，大脑区域就不会活跃起来。在其他学者中，这个脑区并不活跃，无论是思考数学问题还是非数学问题。
结果表明，教育和职业养成的习惯深刻改变了数学家在思考数学时的思维方式。由此可见，文化的巨大影响。
文化何时将我们曾经模糊的本能(“量觉”)塑造成能够准确识别数字(“精确的数量感”)的能力？目前还不清楚确切的时间。南非莱邦博山脉的博德山洞是人类处理数量的最早证据。在那里，考古学家发现了年龄为4.4万的有缺口的骨头，其中包括狒狒腓骨，上面刻有29个痕迹。人类学家认为，这些痕迹表明，这块骨头类似于原始人的“账目棒”，用于辅助计数。说明当时人类已经学会了有意识地用符号表达和操纵数量。
公元前4000年左右，美索不达米亚文明出现在底格里斯-幼发拉底谷(现在伊拉克的一个地区)。在这一文明中，计数和测量达到了一个新的高度。这也离不开文明的发展需要。美索不达米亚人需要记录天文历法，测量土地面积，测量谷物收获，甚至重量。然后，随着人类走向海洋或研究天空，我们开始发展导航和天文观测所需的数学。即使在现代，商业需求仍在促进数学的发展。例如，一些最复杂的数学是为华尔街的股票和债券交易而开发的。
扩展阅读：动物有数学本能吗？
关于人类是否天生就有“数觉”的争论，让持积极意见的人往往转向寻求动物支持。如果我们的远亲能表现出一定的数学能力，那就意味着我们自己的对数感必须先于文化的发展。
一些动物个体被证明表现出非凡的数觉天赋。亚历克斯，一只训练有素的非洲灰鹦鹉，能够在80%的时间内正确识别出2到6个物体的集合。Ai，一只由日本灵长类动物学家训练的黑猩猩也能做同样的事情。
但也有人争论说，这些动物没有掌握数字的象征意义。相反，经过数千次训练，他们只能通过联想学习数字。这与我们训练动物在野外做他们做不到的事情没有什么不同。例如，在自然状态下，大象戴着滑稽的帽子和一条腿站在凳子上是不可想象的，训练后做这样的事情也就不足为奇了。
然而，越来越多的证据表明，动物在自然状态下也能表现出接近“数觉”的能力。20世纪90年代初，观察证明狮子可以区分一头狮子和三头狮子的吼声。在2017年2月的一次会议上，研究人员还报告说，一些青蛙在择偶过程中听到与之竞争的青蛙的叫声时，会与竞争对手竞争。
这些发现表明，动物确实有一种接近“数觉”的本能。换句话说，这种本能是人类和许多其他动物共同拥有的。
下篇 数学的本质
“数学是大自然的语言”
如今，人类已经建立了一个巨大的数学金字塔。在过去的5000年里，数学已经扩展到一个更抽象的领域，似乎进一步脱离了周围现实世界和普通人的理解。
然而，我们对宇宙的秘密了解得越多，数学上的新发明就越能描述这些秘密。例如，当大卫·希尔伯特开发了一个高度抽象的代数来处理无限的空间三维，而不是熟悉的空间三维时，没有人能预测这个代数可以应用于量子力学。但很快就证明了希尔伯特的数学——所谓的“希尔伯特空间”——是我们了解神秘量子世界的关键。
数学和物理之间的普遍联系让我们想起了伽利略几个世纪前说的一句话“数学是自然的语言”。数学几乎是当今从事自然科学研究的人的必备工具。即使是长期抵制数学的生物学也在慢慢屈服:人们见证了数学在基因组学或神经科学中的广泛应用。例如，DNA双螺旋结构的发现与一种叫做“傅里叶分析”的数学工具密不可分。神经生物学越来越依赖于拓扑学、图论等数学学科。
数学本身的辉煌成就及其在现实中的无处不在的应用，让一些人产生了一种“傲慢”的观点：数学是一切，一切都是数学；宇宙是一种数学结构，它只有数学性质。这种观点呼应了古希腊毕达哥拉斯学派“一切，数字是一切的起源”的神秘思想。
数学是发现还是发明？
历史上，人们对“数学是发明还是发现？”发生了激烈的争论。从“数学是一切”的角度来看，数学显然是“发现”而不是“发明”，因为它已经存在了，我们所做的就是发现。
但事情可能没那么简单:当被问及“数学是发明的还是发现的？”人们往往有先入为主的前提，好像两者是相互排斥的。如果你发明了它，你就不会发现它，等等。但这不是一个非此即彼的命题。
想想古希腊数学家欧几里德编撰的《几何原始》，它收集了古希腊所有的数学知识，并编写了几何定律。欧几里德把他的工作建立在一系列公理之上。这些公理既不能证明也不能伪造，我们只能说它们是“发明的”。最著名的一个是“平行线公理”：两条平行线永远不会相交。随着时间的推移，许多规则和关系从这些公理中衍生出来，并被后人证明为定理。从某种意义上说，他们“发现”了欧几里德几何的景观。
但几千年后，一些数学家开始了另一个炉子，决定使用新的公理来发现新的几何王国。这些新的公理与欧几里得的公理相矛盾。例如，以德国数学家黎曼命名的黎曼几何显然依赖于“平行线可以相交”的想法。这个非正统的起点把我们引向了一个广阔的数学世界，爱因斯坦用它来解释他的广义相对论。
数学能解释它的起源吗？
然而，无论我们从哪一套公理开始，数学都可能不像我们想象的那样是一个完整的思想体系。由于奥地利逻辑学家哥德尔的不完整定理所提供的见解，我们应该感谢这一点。哥德尔证明，在任何形式的公理和定理系统中，都有一些陈述既不能证明正确也不能证明错误。换句话说，数学可以问一些问题，但它永远不会回答。就像欧几里得几何中的“平行线永不相交”一样，欧几里得几何系统本身无法提供证据。我们只能说:“暂时假设是对的，看看会发生什么……”
在这种情况下，我们说数学是一个普遍的真理，也许是为了时尚。因为真理是对的，不能说“假设它是对的”（例如，上帝说存在，不存在说不存在，不能说“假设他存在”）。此外，到目前为止，人类建立的数学系统可能只是“数学丛林”的一个小角落。谁能保证它代表了整个宇宙？
目前，数学能否完全用数学来描述意识是一个非常大的挑战。众所周知，数学本身就是人类意识的产物，现在要用它来解释意识，这意味着要用数学来解释自己的起源。它能胜任吗？如果可以解释，那就算了；如果没有，麻烦会很大。因为即使是“自然语言”数学也无法解释意识，那么意识还能用什么来解释呢？或者反过来，迫使我们问“数学真的是自然语言吗？”？”